Российская научная конференция школьников РФ "Открытие"
Вернуться на главную страницу

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ: Барианализ алгебраического уравнения третьей степени

Автор доклада: Варин Илья (11 А класс, школа-лицей №86)

Научный руководитель: доцент кафедры высшей математики ЯГТУ Бородин А. В.



1. Баричисла и действия над ними

Рассмотрим понятие баричисла, введенное в работе [1]. Пусть <х;y> упорядоченная пара вещественных чисел, а величина µ=xy ее момент. Тогда

<x;y>=<µ/y; y>,

причем, когда у=0, а µ№ 0, нуль у=0 называется нестандартным и обозначается символом (0). В случае, когда и у=0, и µ=0, пара называется нулевой и обозначается символом <o>. Две пары <x1; y1> и <x2; y2> называются равными, если выполняются условия:

1) y1=y2 , 2) µ1=µ2

Далее для краткости пару <x;y> будем обозначать <z>.

Пусть <zk>= <xk; yk> = <µk/yk; yk> (k=1,2). Тогда по определению [1]

<z1> + <z2>=<(µ1+µ2)/(y1+y2); y1+y2> (1.1)

<z1><z2>= <(µ1µ2–y1y2)/(µ1y2+µ2y1); µ1y2+µ2y1> (1.2)

Можно показать, что так определенные операции сложения (1.1) и умножения (1.2) удовлетворяют аксиомам поля, причем для сложения нулем будет <o>, а противоположным элементом к <z> будет элемент –<z> = <x; –y>; для умножения единицей будет элемент <1/(0);(0)>, а обратным элементом для <z> будет элемент <z>–1= <–x; –1/ y(x2+1)>.

Поскольку, в силу (1.2), " сО R <1/(0);c(0)><z> = <x;cy>, то будем считать, что по определению " cО R

c<z>=<x;cy> (1.3)

В частности, с<1/(0);(0)> = <1/(0);с(0)>.

Суммируя все сказанное можно дать определение баричисла.

О п р е д е л е н и е. Баричислами называются упорядоченные пары вида <x;y> со сложением (1.1) и умножением (1.2). При этом множество баричисел обозначается символом <R;R>.


2. Барилинейный оператор над полем R

Рассмотрим отображения <А> из <R;R> в <R;R>, определенное формулой (" <z> = <µ/y;y> О <R;R>)

<A>(<z>) = µ<A>|1+y<A>|2 , (2.1)

где <A>|1 = <m1/b1;b1>, <A>|2 = <m2/b2;b2> О <R;R> – барикомпоненты отображения <А>, первая и вторая соответственно. Поскольку это отображение обладает свойствами однородности и аддитивности, т.e. ( " <z>, <z1>, <z2> О <R;R> и " cО R )

<A>(c<z>) = c<A>(<z>) (2.2)

<A>(<z1> + <z2>) = <A>(<z1>) + <A>(<z2>), (2.3)

то оно линейное, точнее барилинейное отображение, или барилинейный оператор (БЛО) на <R;R>.

Пусть <A> и <B> – произвольные БЛО, cО R – произвольное число. Тогда произведением БЛО <А> на c называется БЛО c<А>:

(c<A>)|k = c(<A>|k) (k=1,2) (2.4)

Суммой БЛО <А> и <В> называется БЛО <А> + <В>:

(<A> + <B>)|k = <A>|k + <B>|k (k=1,2) (2.5)

При этом нулевым БЛО будет:

<O>|k = <o> (k=1,2) (2.6)

Противоположным к БЛО <А> является БЛО –<А>:

(–<A>)|k = – (<A>|k) (k=1,2) (2.7) Произведением БЛО <А> и <В> называется БЛО <А><В>:

(<A><B>)|k = <A>(<B>|k) (k=1,2) (2.8)

При этом единичным БЛО является БЛО <I>:

<I> = <(1/(0);(0)) ; (0;1)> (2.9)

Обратным БЛО <А>–1 к <А> будет:

<A>–1 = <(–b2/b1; –b1/ |<A>|) ; (–m2/m1; m1/|<A>|)>, (2.10)

где |<А>| = (m1b2 – m2b1) – определитель БЛО <А>. Следовательно, БЛО <А> имеет обратный тогда и только тогда, когда его определитель не равен нулю.

Заметим, что произведение (2.8), вообще говоря не коммутативно (но ассоциативно). Таким образом, множество L<R;R> всех БЛО образует некоммутативную алгебру над полем R.

Из (2.8) следует, что:

<Z>2|1 = <(µ12+µ2y1)/y1(µ1+y2); y1(µ1+y2)>,

<Z>2|2 = <µ2(µ1+y2)/(µ2y1+y22); (µ2y1+y22)> (2.11)

<Z>3|1 = <(µ13+µ2y1(2µ1+y2))/y1(µ12+µ1y2+µ2y1+y22); y1(µ12+µ1y2+µ2y1+y22)>,

<Z>3|2= <µ2(µ12+µ1y2+µ2y1+y22)/(y23+µ2y1(µ1+2y2)); y23+µ2y1(µ1+2y2)> (2.12)

3. Спектральное разложение и функции от БЛО

Пусть <А> О L<R;R>.

О п р е д е л е н и е 3.1. Число lО С и ненулевой бариэлемент <z>О <R;R> называются собственным значением и собственным бариэлементом БЛО <А>, если справедливо равенство:

<A>(<z>) = l <z>.

Можно показать, что БЛО <А> имеет два собственных значения l 1 и l 2, определенные формулой:

l k = a + (–1)k, (3.1)

где

a = (m1+b2)/2, b = a2 – |<A>|

Пусть сначала

l1№l2 (3.2)

О п р е д е л е н и е 3.2. Два БЛО <А1> и <А2> называютя спектральными барикомпонентами БЛО <А>, если выполняются следующие условия:

<A> = l1<A1> + l2<A2>, (3.3)

<A1> + <A2> = <I>, (3.4)

<A1><A2> = <A2><A1> = <O>, (3.5)

<Ak>2 = <Ak> (k=1,2) (3.6)

При этом формула (3.3) называется спектральным бариразложением БЛО <А>.

Спектральное бариразложение позволяет определить значение ¦ <А> для любой элементарной функции по формуле:

¦ <A> = ¦ (l1)<A1> + ¦ (l2)<A2> (3.7)

В частности, (" s О Q)

<A>S = l1S<A1> + l2S<A2> (3.8)

При условии (3.2) барикомпоненты <А1> и <А2> для БЛО <А> определяются по формулам [1]:

<A1> = (l2<I> – <A>)/(l2–l1), (3.9)

<A2> = (l1<I> – <A>)/(l1 –l2), (3.10)

где l1 и l2 – собственные значения (3.1).

Если же

l1 = l2 =l, (3.11)

то спектральное разложение (3.3) принимает вид [1]:

<A> = l<I> + <A0>, (3.12)

где

<A0> = <A> – l<I> (3.13)

Формулы (3.7) и (3.8) соответственно имеют вид:

¦ (<A>) = ¦ (l)<I> +¦ /(l)<A0> (3.14)

<A>S = lS<I> + slS–1<A0> (3.15)


4. Простейшее кубическое бариоператорное уравнение.

Пусть <А> – БЛО (2.1). Рассмотрим кубическое бариоператорное уравнение (КБУ) вида

<Z>3 = <A>, (4.1)

где

<Z> = <(µ1/y1; y1) ; (µ2/y2; y2)> (4.2)

неизвестный БЛО, подлежащий нахождению. Если собственные значения (3.1) БЛО <А> простые (3.2), то согласно формуле (3.8), решение (4.2) КБУ (4.1) дает формула:

, (4.3)

где (k=1,2,3) – три значения корня кубического из l1, а ()J (j = 1,2,3) – три значения корня кубического из l2. Тем самым мы получим девять значений для корня кубического из БЛО <А>, т.е. девять решений КБУ (4.1).

5. Алгебраический эквивалент КБУ

Подставим в КБУ (4.1) вместо БЛО <Z> и <А> их развернутые выражения (2.1) и (4.2), возведем в куб БЛО <Z> согласно формуле (2.12) и сравним соответствующие компоненты слева и справа. В результате получим систему алгебраических уравнений (АУ) относительно четырех неизвестных µ1, y1, µ2, y2:

µ13 + µ2y1(2µ1 + y2) = m1, (5.1)

y1(µ12 + µ1y2 + µ2y1 + y22) = b1, (5.2)

µ2(µ12 + µ1y2 + µ2y1 + y22) = m2, (5.3)

y23 + µ2y1(µ1 + 2y2) = b2 (5.4)

Разделив (5.2) на (5.3) найдем, что

µ2 = m2y1/b1 (5.5)

Вычитая (5.4) из (5.1) и деля полученную разность на (5.2), получим

y1= b1(µ1–y2)/(m1–b2) (5.6)

Теперь, подставив соотношения (5.5) и (5.6) в (5.1) и (5.4), придем к системе двух АУ с двумя неизвестными µ1 и у2:

µ13 + d(2µ13 + y23 – 3µ12y2) = m1, (5.7)

y23 + d(µ13 + 2y23 – 3µ1y22) = b2, (5.8)

где

d = m2b1/(m1 – b2)2 (5.9)

Домножив уравнение (5.7) на b2 и уравнение (5.8) на m1, приравняв их, получим АУ третьей степени относительно t:

(qb2 – m1)t3 – 3b2t2 + 3m1t + (b2 – m1q) = 0, (5.10)

где

t = µ1/y2, (5.11)

q = 1/d + 2 (5.12)

Это кубическое АУ является следствием КБУ (4.1). Поэтому, зная решения КБУ (4.1), можно решить и полученное АУ третьей степени (5.10) по формуле, следующей из (4.3) и (5.11):

, (5.13)

где l1№l2.

Выясним какой класс кубических АУ сводится к (5.10). Для этого рассмотрим общее АУ третьей степени вида:

Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 (5.14)

Чтобы это уравнение было уравнением вида (5.10), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

A = qb2 – m1, (5.15)

B = –3b2, (5.16)

C = 3m1, (5.17)

D = b2 – qm1 (5.18)

Эти условия позволяют выразить параметры m1, b1, m2, b2 КБУ (4.1) через коэффициенты A, B, C, D АУ (5.14). Из (5.16) и (5.17) находим,что

b2 = –B/3, (5.19)

m1 = C/3 (5.20)

Далее рассмотрим (5.15) и (5.18) как систему двух АУ относительно q. Чтобы эта система имела решение, необходимо выполнение условия

(A+m1)/b2 = (b2–D)/m1

Или, учитывая (5.19) и (5.20)

B2 – C2 = 3(AC – BD) (5.21)

При условии (5.21) получаем, что

q = –(3A+C)/B = –(3D+B)/C (5.22)

Таким образом, при выполнении ключевого условия (5.21) АУ (5.14) является следствием КБУ (4.1), параметры которого определяются соотношениями (5.19), (5.20), (5.22) вместе с (5.12) и (5.9).

Однако оказывается, что практически любое кубическое АУ можно привести к виду, когда его коэффициенты удовлетворяют соотношению (5.21). Для этого сделаем замену переменной в уравнении (5.14) x=r·t и разделим его на r3. Получим АУ третьей степени относительно t:

At3 + (B/r)t2 + (C/r2)t + (D/r3) = 0 (5.23)

Подставив коэффициенты АУ (5.23) в (5.21) найдем r:

(5.24)

Заметим, что, если B2=3AC, то АУ(5.14) сводится к виду (ax+b)3+c=0, которое решается элементарными средствами. Аналогично в случае С2=3BD.

Таким образом любое АУ третьей степени (5.14) можно привести к АУ вида (5.10) заменой переменной x=rt, а, следовательно, любое кубическое уравнение можно решить с помощью КБУ (4.1).


6. Пример

Изложенный метод решения АУ третьей степени называется бариметодом. Продемонстрируем его на конкретном примере. Пусть АУ (5.14) имеет вид:

3589x3 – 900x2 + 108x – 135 = 0, (6.1)

т.е. A = 3589, B = –900, C = 108, D = –135. Легко убедиться, что эти коэффициенты удовлетворяют условию (5.21). Согласно формулам (5.19), (5.20) и (5.22) вместе с (5.12) и (5.9) имеем:

b2=300, m1=36, m2b1 = 6912.

Пусть m2=144, а b1=48. Тогда соответствующее (6.1) КБУ (4.1) выглядит следующим образом:

<Z>3 = <(36/48; 48) ; (144/300; 300)>.

Или, учитывая (5.11):

<Z>3= <(3/4; 4) ; (12/25; 25)>, (6.2)

т.е. <А> = <(3/4; 4) ; (12/25; 25)>. Для БЛО <А> собственные значения, определенные по формуле (3.1), равны l1=1, l2=27. Соответственно спектральные барикомпоненты БЛО <А>, ввиду формул (3.9) и (3.10), имеют вид:

<A1> = <(–6; –2/13) ; (–6;1/13)>, <A2> = <(1/2; 2/13) ; (1/2; 12/13)> (6.3)

Отсюда спектральное бариразложение БЛО <А> выглядит следующим образом:

<A> = 1<(–6;–2/13) ; (–6;1/13)> + 27<(1/2;2/13) ; (1/2;12/13)> (6.4)

На основании формулы (4.3) КБУ(6.2) имеет решение:

Следовательно, согласно (5.11), корни искомого АУ (6.1) имеют вид:

(6.5)

Или

x1= 15/37,

x2= –195/2522 + (429/2522)i,

x3= –195/2522 – (429/2522)i.

Заметим, что в силу изложенной теории формула (5.13) (соответственно (6.5)) дает три корня кубического уравнения.

Предложенный бариметод решения АУ третьей степени (см. формулу (5.13)) позволяет выделить широкий класс таких кубических АУ, которые решаются с помощью одного и того же спектрального бариразложения (3.3). При этом, что немаловажно, используется только извлечение кубических корней из l1 и l2. В этом его отличие от метода Кардано [2]. Например, рассмотренное выше кубическое АУ (6.1) содержится в двухпараметрическом множестве АУ третьей степени вида

(l1/12 +144l2)x3 –3(l1+12l2) x2+3(12l1+l2)x –(144l1+l2/12)=0,

полученного посредством спектрального разложения (6.3).

Вернуться на главную страницу
    Список использованной литературы.

  1. Бородин А.В. Одномерный барилинейный анализ и изоспектральные уравнения Шредингера. - Ярославль : ЯГТУ, 1997.177с.
  2. Прасолов В. В., Соловьев Ю.П. . Эллиптические функции и алгебраические уравнения .- М:Изд-во "Факториал", 1997, 288с.