ГЕОМЕТРИЯ ГАЛИЛЕЯ.

Рязанов Герман
ученик 9-1 класс школы 33 г. Ярославля
Научный руководитель -Медведева Людмила Борисовна,
кандидат физико-математических наук.

Как известно существуют два метода построения геометрии. Первый способ - аксиоматический, основы которого были заложены в Древней Греции известным математиком Евклидом, второй - высказан в Эрлангенской программе Феликса Клейна в 1872 году. Согласно Клейну геометрию можно рассматривать ,как множество свойств фигур, инвариантных относительно некоторой группы преобразований. В работе в качестве группы преобразований плоскости взяты преобразования Галилея,т.е. преобразования вида :
x*=x+a
y*=vx+y+b (1)

В Ньютоновской механике эти преобразования описывают прямолинейное равномерное движение точки при переходе от одной инерциальной системы к другой.
В Евклидовой геометрии преобразования (1) являются афинными преобразованием имеющими одно инвариантное направление. Поэтому в данной работе речь идет о модели геометрии Галилея на Евклидовой плоскости.
В начале работы выясняются основные свойства преобразований Галилея. Эти свойства позволяют утверждать,что в геометрии Галилея имеют место такие понятия, как точка, прямая, параллельные прямые,отношение параллельных отрезков, отношение площадей фигур.
Кроме того в этой геометрии прямые параллельные оси Oy играют особую роль и они называются <особыми>. Особенность заключается в том, что эти прямые преобразованиями (1) переводятся либо в себя, либо в параллельные прямые.
Далее в работе выясняются те фигуры и их свойства,которые сохраняются при преобразованиях (1).
Найден инвариант двух точек - расстояние между ними, получены формулы для вычисления углов между прямыми, расстояний от точки до прямой, а так же между параллельными прямыми. В работе так же изучаются свойства треугольников плоскости Галилея; найдены соотношения между углами и сторонами,доказаны аналоги теорем синусов и косинусов,выведена формула для вычисления площади треугольников. Доказано, что свойства равнобедренного треугольника плоскости Галилея ничем не отличаются от свойств равнобедренного треугольника на Евклидовой плоскости.
Отличительной чертой новой геометрии является наличием в ней принципа двойственности, который позволяет каждой фигуре соотнести новую, двойственную фигуру ( параллелограмм-антипараллелограмм,трапеция-антитрапеция).
Наконец, в работе дается обобщенное понятие окружности - вводится понятие цикла и изучаются некоторые его свойства. Циклом называется геометрическое место точек плоскости Галилея из которых данный отрезок виден под постоянным углом. В модели цикл изображается прямой, или парой особых прямых, или Евклидовой параболой, диаметр которой имеет особое направление.
© ярославский областной Центр Дистанционного Обучения школьников, 1998