ГЕОМЕТРИЯ ГАЛИЛЕЯ.
Рязанов Герман
ученик 9-1 класс школы 33 г. Ярославля
Научный руководитель -Медведева Людмила
Борисовна,
кандидат физико-математических наук.
Как известно существуют два метода построения геометрии.
Первый способ - аксиоматический, основы которого были
заложены в Древней Греции известным математиком Евклидом,
второй - высказан в Эрлангенской программе Феликса Клейна
в 1872 году. Согласно Клейну геометрию можно рассматривать
,как множество свойств фигур, инвариантных относительно
некоторой группы преобразований. В работе в качестве группы
преобразований плоскости взяты преобразования Галилея,т.е.
преобразования вида :
x*=x+a
y*=vx+y+b
(1)
В Ньютоновской механике эти преобразования описывают
прямолинейное равномерное движение точки при переходе от
одной инерциальной системы к другой.
В Евклидовой геометрии преобразования (1) являются афинными
преобразованием имеющими одно инвариантное направление.
Поэтому в данной работе речь идет о модели геометрии
Галилея на Евклидовой плоскости.
В начале работы выясняются основные свойства преобразований
Галилея. Эти свойства позволяют утверждать,что в геометрии
Галилея имеют место такие понятия, как точка, прямая,
параллельные прямые,отношение параллельных отрезков,
отношение площадей фигур.
Кроме того в этой геометрии прямые параллельные оси Oy
играют особую роль и они называются <особыми>. Особенность
заключается в том, что эти прямые преобразованиями (1)
переводятся либо в себя, либо в параллельные прямые.
Далее в работе выясняются те фигуры и их свойства,которые
сохраняются при преобразованиях (1).
Найден инвариант двух точек - расстояние между ними, получены
формулы для вычисления углов между прямыми, расстояний от
точки до прямой, а так же между параллельными прямыми.
В работе так же изучаются свойства треугольников плоскости
Галилея; найдены соотношения между углами и сторонами,доказаны аналоги теорем синусов и косинусов,выведена
формула для вычисления площади треугольников. Доказано,
что свойства равнобедренного треугольника плоскости Галилея
ничем не отличаются от свойств равнобедренного треугольника
на Евклидовой плоскости.
Отличительной чертой новой геометрии является наличием в
ней принципа двойственности, который позволяет каждой
фигуре соотнести новую, двойственную фигуру (
параллелограмм-антипараллелограмм,трапеция-антитрапеция).
Наконец, в работе дается обобщенное понятие окружности - вводится
понятие цикла и изучаются некоторые его свойства. Циклом
называется геометрическое место точек плоскости Галилея из
которых данный отрезок виден под постоянным углом. В модели
цикл изображается прямой, или парой особых прямых, или
Евклидовой параболой, диаметр которой имеет особое
направление.
© ярославский областной Центр Дистанционного Обучения школьников, 1998