Четвертая Российская научная конференция школьников “Открытие”

Секция - математика

Однопараметрические подгруппы в мультипликативных группах некоторых числовых алгебр

Работу выполнили:
Волченков Александр
Шабашов Евгений
10 класс
средней школы 33 города Ярославля

Научные руководители:
учитель школы 33
Михайловская Ольга Владимировна
преподаватель ЯГПУ им. Ушинского
Ястребов Александр Васильевич

2001

В настоящем докладе рассматриваются три числовые алгебры, а именно, алгебра комплексных чисел

C = {z = a+bi / a, bR, i2 = -1},

алгебра двойных чисел

Do = {z = a+bj / a, bR, j2 = 1}

и алгебра дуальных чисел

Du = {z = a+be / a, bR, e2 = 0}.

Для каждой из трех алгебр решается следующая задача: найти все однопараметрические подгруппы в соответствующей мультипликативной группе, т.е. в группе элементов, обратимых относительно умножения.

Под однопараметрической подгруппой понимается отображение :RA*, которое обладает двумя свойствами:

  1. (t+) = (t)*();
  2. существует '(0).

Здесь A = C, Do или Du, а A* - соответствующая мультипликативная группа.

1.Комплексные, двойные и дуальные числа

Комплексными числами называются пары вещественных чисел (a,b), рассматриваемые относительно следующих действий:

1)Сложение, производимое по правилу:

(a, b)+(с,d) = (a+c, b+d);

2)Умножение, производимое по правилу:

(a, b)(c, d) = (ac-bd, ad+bc).

Каждое комплексное число z = (a,b) может быть задано и притом, очевидно, единственным образом в виде: r = a+bi, где i2= -1, называемой нормальной формой комплексных чисел.

Для комплексного числа z =a+bi число u = a - bi называется сопряженным с z.

Используя сопряженные числа, удобно производить деление комплексных чисел в нор-мальной форме.

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c+d)+(bc-bd)/(c+d)i.

Для комплексного числа z = a+bi арифметическое значение корня из (a2+b2) , называется модулем комплексного числа и обозначается через |z|, где z = a+bi.

Вещественное число , такое, что cos = a/|z|, sin = b/|z|, называется аргументом комплексного числа.

Каждое комплексное число z 0 можно представить в виде

z = r(cos +isin ), где rR, r>0

Для чисел r и имеет место r= |z|,j = argz

Такое выражение комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.

Мы не делаем здесь исключения для случая z=0, поскольку для z=0 тригонометрической формой можно считать выражение

0 = 0(cos+isin) при любом R

Произведение:

z1z2 = r1r2[cos(1+2)+isin(1+2)]. [4.гл.5.1-3].

Наряду с комплексными числами математика знает две другие системы "чисел" - так на-зываемые "дуальные числа" и "двойные числа" [6, c 273-275]. Дуальное число определяется как выражение z = x+ey, где x,y- числа вещественные, а "дуальная единица" e удовлетворяет условию e2 = 0. Аналогично этому под двойным числом понимается выражение z = x+jy, где x,y- вещественные, а "двойная единица" j удовлетворяет условию j2=1. [6.стр.273-275]

Сложение и вычитание дуальных и двойных чисел определяется аналогично сложению и вычитанию комплексных чисел, а умножение производится так:

(a+eb)(c+ ed)=ac+e(ad+bc)
(a+jb)(c+jd)=(ac+bd)+j(ad+bc)

Деление выполняется по следующему правилу:

(a+eb)/(c+ed) = a/b+e(cb-ad)/c2
(a+jb)/(c+jd) = (ca-db)/(x2-y2)+j(cb-ad)/(x2-y2)

Так же, как и комплексные, дуальные и двойные числа могут быть записаны в тригонометрической формe

z = r(1+e) - для дуальных чисел;
z = r(ch +jsh ) - для двойных чисел.

Произведение дуальных и двойных чисел в тригонометрической форме выполня-ется по тому же правилу, что и произведение комплексных чисел, записанных в триго-нометрической форме.

z1z2 = r1r2(1+e(1+2))
z1z2 = r1r2(ch(1+2)+jsh(1+2)).

2.Критерии обратимости по умножению

Нижеследующие примеры показывают, что не все элементы являются обратимыми. Например, число 0 необратимо ни в одной из трех алгебр. Если говорить о комплексных числах, то это число является единственным необратимым элементом. В других алгебрах кроме 0 имеются еще необратимые элементы. Например, в алгебре двойных чисел число 1+ j является необратимым, а в алгебре дуальных число e является необратимым. Возникает вопрос о том, каков критерий обратимости числа по умножению в каждой из двух алгебр.

Теорема 1. Двойное число z = a+bj необратимо тогда и только тогда, когда выполняется условие

b = a,
b = -a.

Доказательство. Согласно определению, число z=a+bj называется обратимым, если существует число u = x+yj такое, что zu = 1. Подставив в это равенство выражения чисел z и u и произведя умножение, получим, что (ax+by)+(bx+ay)j = 1. Приравняв вещественные и мнимые части выражений в обеих частях равенства, получим систему

ax+by = 1,
bx+ay = 0 (1)

двух линейных уравнений с неизвестными х и у.

Выясним, при каких значениях параметров а и b система (1) совместна, а при каких несовместна.

  1. Очевидно, что при а = b = 0 система (1) несовместна, поскольку в этом случае ее первое уравнение принимает вид 0х+0у = 1.
  2. Если а = 0 и b 0, то система (1) принимает вид
    by = 1
    bx = 0
    и имеет решение
    x = 0
    y = 1/b.
  3. Если a 0 и b = 0, то система (1) принимает вид
    ах = 1,
    ау = 0
    и имеет решение
    х = 1/а,
    у = 0.
  4. Пусть а 0 и b 0. Умножим первое равенство системы (1) на а, а второе равенство на b, и затем второе из новых равенств вычтем из первого. Получим, что (b2-a2)y = b. (2)
      Рассмотрим теперь две возможные ситуации.
      а) Если b2-a2 = 0, то уравнение (2) принимает вид 0y = b, где b 0. Очевидно, что оно неразрешимо.
      б) Если b2-a2 0, то из уравнения (2) получаем, что у = b/(b2-a2). Подставив найденное выражение во второе уравнение системы (1) и пользуясь тем, что b 0, получим, что х = -а/(b2-a2). Таким образом, система (1) совместна.

Итак, система (1) несовместна в двух и только двух случаях, а именно 1) и 4а). Можно заметить, что объединение соответствующих множеств точек задается условием
b = a,
b = -a,
что и требовалось доказать.

Теорема 2.Дуальное число z = a+eb необратимо тогда и только тогда, когда выполняет-ся условие а = 0.

Доказательство.Согласно определению число z = a+eb называется обратимым, если существует число u = x+ey такое, что zu = 1. Подставив в это равенство выражения чисел z и u и произведя умножение, получим, что ax+(bx+ay)e = 1.

Приравняв вещественные и мнимые части выражений в обеих частях равенства, получим систему
ax = 1,
bx+ay = 0 (3)
двух уравнений с неизвестными x и y.

Выясним, при каких значениях параметров а и b система (3) совместна, а при каких несовместна.

  1. Очевидно, что при а = 0 уравнение ах = 1 не имеет решения, так как 0х = 1 не выпол-няется ни при каких х. Значит система (3) несовместна.
  2. При а 0 х = 1/а, и второе уравнение в системе (3) принимает вид b/a+ay = 0. Отсюда мы получаем, что y = 1/a(-b/a) = -b/a2. Если а 0, то при любых b это уравнение имеет решение, значит система (3) совместна.

Итак, система (3) несовместна в одном и только одном случае, а именно 1) а=0. Значит дуальное число z = a+eb необратимо тогда и только тогда, когда а=0, что и требовалось доказать.

Известно, что множество элементов обратимых по умножению образуют группу. В дальнейшем эту группу будем называть мультипликативной группой комплексных (двойных, дуальных) чисел.

3.Связная компонента

Связной компонентой мультипликативной группы называется множество всех точек, ко-торые можно соединить с единицей группы с помощью непрерывной линии, целиком лежащей в мультипликативной группе. Найдем связную компоненту в каждой из четырех мультипликативных групп (комплекс-ных, двойных, дуальных и вещественных чисел).

Связной компонентой мультипликативной группе комплексных чисел является вся плос-кость, исключая точку с координатами (0,0), т.е. начало координат (рис. 1).

В мультипликативной группе дуальных чисел связной компонентой является правая по-луплоскость без границы, т.е. множество точек, координаты (a,b) которых удовлетворяют неравенству a>0 (рис.2).

В мультипликативной группе двойных чисел связной компонентой является множество точек, координаты (a,b) которых удовлетворяют неравенствам
a>0
-a<b<a (рис.3).

Cвязной компонентой в мультипликативной группе вещественных чисел является луч Ox без начала (рис.4).

4.Гомоморфизм групп

Гомоморфизмом из группы (G,.) в группу (G',*) называется отображение, которое обладает следующим свойством:
a(a.b) = a(a)*a(b)

Приведем ряд примеров, иллюстрирующих свойство гомоморфности.

  1. Рассмотрим отображение из группы (R,+) в группу (R,+), задаваемое равенством a(x)=x2, и проверим, является ли оно гомоморфизмом.Тогда a(x+y) = (x+y)2 и a(x)+a(y) = x2+y2. Видно, что необходимое равенство не выполняется, значит a не является гомоморфизмом.
  2. Рассмотрим y(x)=5x,тогда y(x+y) = 5x+5y и y(x)+y(y) = 5x+5y.Видно, что необходимое равенство выполняется, значит y является гомоморфизмом.

Известно, что все непрерывные гомоморфизмы группы (R,+) в себя задаются равенством g(x) = kx [5.cтр.157].

5.Однопараметрические подгруппы в мультипликативной группе комплексных чисел

Однопараметрической подгруппой в мультипликативной группе комплексных чисел на-зывается отображение a из множества действительных чисел во множество комплекс-ных чисел, образующих мультипликативную группу, обладающее двумя свойствами:
1) a(t+) = a(t)*a(t);
2) существует производная отображения a в точке 0.

Выход