СЕКЦИЯ ФИЗИКИ И АСТРОНОМИИ

ЗЕРКАЛО - ВАЖНЫЙ ПРЕДМЕТ И ФИЗИЧЕСКОЕ ЯВЛЕНИЕ

    Зеркало - это необходимый предмет быта, позволяющий человеку взглянуть на себя со стороны, природное явление, связанное с отражением света от гладкой поверхности физических тел, это также не очень сложный, но очень важный оптический прибор-инструмент.

    Важностью этого предмета для человека обусловлено внимание к нему писателей, поэтов, художников, кинематографистов и даже телеобозревателей. Примерами тому могут служить произведения, в которых фигурирует зеркало, такие, как "Белоснежка..." Ш. Перро, "Сказка о спящей царевне..." А. Пушкина, басня "Зеркало и обезьяна" И. С. Крылова, одноименные кинофильм А. Тарковского и телепередача Н. Сванидзе.

1. ПОСТУЛАТ ГЕРОНА, ПРИНЦИП ФЕРМА И ЗАКОН ОТРАЖЕНИЯ

    Основное свойство зеркала - отражение света - подчиняется законам геометрической оптики, в соответствии с одним из которых угол падения равен углу отражения (рис. 1). Сам же закон отражения следует из фундаментальных свойств света, выраженных в постулате Герона ( I в. н. э.) и принципе Ферма (1650 г.): свет распространяется по наикратчайшему оптическому пути (Герон), т.е. такому, на прохождение которого требуется наименьшее время (Ферма), - и может быть выведен как в корпускулярной, так и в волновой теории [1].

    Рис.1. Принцип Ферма и закон отражения

    Действительно, на рис. 1 DADC=DFDC, тогда согласно постулату Герона:

    min(AC+CB)=min(FC+CВ)=FВ=FO+OB=AO+OB => a=b

    Здесь учтено, что кратчайший путь между двумя точками (F и B) будет по прямой FB через точку О.

    Заметим, что аналогичным образом из принципа Ферма можно вывести закон преломления света.

2. ЗЕРКАЛО ОПТИМАЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ

    Используя закон отражения света можно решить важную для многих людей задачу об оптимальных размерах зеркала: какими должны быть минимальные размеры зеркала, а, значит, и его цена, чтобы при этом человек мог видеть себя в этом зеркале в полный рост .


    Рис. 2. Неоптимальное и оптимальное зеркала

    Оказывается, что высотой (шириной) зеркало должно быть примерно в половину роста (ширины) человека, как показано на рис.2. Понятно также, что удобнее вешать зеркало на стену вертикально (тогда не придется задирать голову вверх) и так, чтобы его нижний край был от пола на высоте половины роста человека, а верхний - может быть на несколько сантиметров ниже макушки, если прическа не слишком высока.

    Заметим, что маленькие женские зеркальца из набора косметической сумочки обычно также имеют неоптимальные размеры, примерно 5...7 см: в таком зеркальце можно увидеть, к сожалению, только часть лица. Аналогично рассмотренному случаю с большим зеркалом, оптимальные размеры этого зеркальца должны бы быть в половину размеров лица человека, т.е. примерно 12 см, вдвое больше чем обычно. Это зеркальце также легко помещалось бы в косметичку, оно могло бы быть и овальным.

3. СФЕРИЧЕСКИЕ ЗЕРКАЛА

    Исходя из закона отражения можно также решать задачи о кривых зеркалах, не только тех, что вешают в комнате смеха, но о сферических зеркалах используемых на транспорте, в фонариках и прожекторах, зеркале гиперболоида инженера Гарина.

    На рис. 3, 4 показаны примеры построения изображения предмета в виде стрелки в вогнутом и выпуклом сферических зеркалах. Методы построения изображений аналогичны, применяемым к тонким линзам [1]. Так, например, параллельный пучок лучей падающих, на вогнутое зеркало, собирается в одной точке - фокусе, который находится на фокусном расстоянии f от линзы, равном половине радиуса кривизны R зеркала.

    Рис. 3. Построение изображения в вогнутом сферическом зеркале

    В вогнутом зеркале действительное изображение - перевернутое, оно может быть увеличенным или уменьшенным в зависимости от расстояния между предметом и зеркалом, а мнимое - прямое и увеличенное, как в собирающей линзе. В выпуклом зеркале изображение всегда мнимое, прямое и уменьшенное, как в рассеивающей линзе.

Рис. 4. Построение изображения в выпуклом сферическом зеркале

    К сферическим зеркалам применима формула, аналогичная формуле тонкой линзы:

    1/a+1/b=1/f=2/R,

    1/a-1/b=-1/f=-2/R,

    где a и b - расстояния от предмета и изображения до линзы [1]. Первая из этих формул верна для вогнутого зеркала, вторая - для выпуклого.

4. МАТЕРИАЛ ЗЕРКАЛА

    Материалом отражающей поверхности зеркала обычно служат металлы: серебро, алюминий, хром, никель - из-за их высокого коэффициента отражения R=Iотр/Iпад приблизительно = 1 (здесь I - интенсивность света). Удивительно и парадоксально, но их высокая отражательная способность R0 (коэффициент отражения при нормальном падении) обусловлена сильным поглощением металлами энергии электромагнитной волны (см. табл. 1).

    Табл. 1. Оптические константы и отражательная способность металлов [2]

металл  k       n       R       
натрий  2,61    0,05    0,975   
серебро 3,64    0,18    0,951   
золото  2,82    0,37    0,849   
медь    2,62    0,64    0,732   
никель  3,32    1,79    0,620   
железо  1,63    1,51    0,326   

    Из таблицы очевидно, что наилучшее отражающее покрытие из серебра (натрий не годится из-за высокой химической активности), но оно дороговато будет для бытовых зеркал, а в оптических приборах используется часто именно серебро. У железа отражательная способность довольно низкая 33%.

4. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ

    Наряду с металлами способностью отражать свет обладают и диэлектрики, примером тому - отражение закатного солнца в "зеркале" реки или озера, но их коэффициент отражения сильно зависит от угла падения: при нормальном падении он мал, при почти скользящем - близок к единице.

    Рис. 6. Отражение и преломление света на границе диэлектриков

    Эта зависимость выражена в формулах Френеля [2], имеющих разный вид для двух возможных волн с различной поляризацией, когда вектор напряженности электрического поля E|| лежит в плоскости падения или перпендикулярен к ней

    При угле падения, равном углу Брюстера aБр.=arctg(n2/n1), коэффициент отражения одной из поляризованных волн R||=0, при этом отражается только другая волна, и отраженный свет оказывается полностью линейно поляризованным перпендикулярно плоскости падения. При всех других углах падения отраженный свет частично поляризован. Заметим, что aБр.+ гамма =90о. Для поверхности воздух-стекло aБр.=56о.

    При a=гамма=0 отражательная способность

    R0=((n1-n2)/(n1+n2))2

    У стекла, кварца n=1,5 - поэтому на границе с воздухом при a=гамма=0 r=0,2; R0=0,04=4%, как на рис. 7.

    У металлов показатель преломления комплексный

    v=n-ik,

    где v - коэффициент преломления, k - поглощения, i=корень из (-1) [2]. Отражательная способность металлов

    R0=((n-1)2+k2)/((n+1)2+k2)

    относительно велика в основном из-за больших значений коэффициента поглощения k (см. табл. 1). А у железа, как отмечалось, она довольно низкая R0=33%.

    Вместе с тем в диэлектриках при n1>n2, a>aпред=arcsin(n2/n1) <=> гамма=90о

    имеет место явление полного (внутреннего) отражения: R=1. На нем основано действие таких аналогов плоского зеркала, какими являются призмы полного отражения ( рис. 8), которые используются, например, в биноклях, перископах и т.п. У стекла n=1,5 и aпред=42о<45o.

    Рис. 8. Ход лучей в призме полного отражения

    При нормальном (или близком к нему) падении лучей на поверхность призмы отражается 4 % света, т.е. даже при полном отражении внутри призмы часть света теряется при его переходе через границу стекло-воздух. Это можно устранить, используя интерференционный эффект просветления оптики.

5. МНОГОЛУЧЕВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ПРИ ОТРАЖЕНИИ СВЕТА ОТ ПЛОСКОГО СЛОЯ

    Используя явление интерференции света при отражении от поверхности, покрытой тонким слоем диэлектрика (рис. 9), можно достичь

    Рис. 9. Интерференция света при многократном отражении

    равного нулю коэффициента отражения. Если же слоев несколько, то можно, напротив, добиться того, чтобы он был очень близок к единице, что используется, например, при изготовлении зеркал для газовых лазеров.

    Действительно, в соответствии с рис. 9 разность хода лучей 1 и 2

    Экстремальные значения R достигаются при выполнении следующих условий:

    Нанеся несколько (10...12 и даже более) таких слоев (рис. 11) можно создать диэлектрическое покрытие с коэффициентом отражения, очень близким к единице, даже большим, чем у металлических покрытий.

    Рис. 11. Отражающее многослойное диэлектрическое покрытие

    Первый слой должен быть примерно в 2 раза толще, чем последующие. Таким образом изготавливают зеркала для газовых лазеров, а также интерференционные светофильтры с очень узкой полосой пропускания. Но в отличии от зеркала у светофильтра первый, верхний, слой должен быть просветляющим.

6. ОТРАЖАТЕЛЬНАЯ РЕШЕТКА

    Если упорядоченно "исцарапать" зеркало, его можно превратить в отражательную дифракционную решетку (рис. 12), способную разлагать световой пучок в спектр [2]. При этом зеркало становится спектральным прибором, не хуже призмы.

    Разность хода "соседних" отраженных лучей

    и возможно использование "грубых" решеток [2].

    Рис. 12. Дифракция света на отражательной решетке

    Например, в качестве такой отражательной решетки может быть использована даже граммофонная пластинка: ее звуковая дорожка является периодической отражающей структурой, хотя и грубой. Это верно и для компакт-диска, у которого период или постоянная решетки гораздо меньше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    Таким образом, физические свойства и особенности такого, казалось бы, простейшего предмета, каким является зеркало, оказываются весьма разнообразны и интересны: оно может быть кривым, плоским или в виде призмы, с металлическим или диэлектрическим отражающим покрытием, одно- или многослойным, оно может давать не только изображения предметов, действительные или мнимые, но и спектр излучения, падающего на зеркало-решетку.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Слободянин В. П. Оптика/ Задание N 5 по физике для 11 кл. -ЗФТШ при МФТИ, 1998
  2. Сивухин Д. В. Общий курс физики, т. IV, Оптика. - М.: Наука, 1980
  3. Ландсберг Г. С. Оптика/ Общий курс физики. - М.: Наука, 1976

© ярославский областной Центр Дистанционного Обучения школьников, 1999