СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

Некоторые свойства точки Жергона и их применение в геометрии треугольника.

Автор: Пайсон Михаил Борисович,

Россия, г. Барнаул, Алтайский край,

гимназия N 40, 10 класс

Научный руководитель:

доктор ф.-м. наук, профессор Мальцев Ю. Н.,

Алтайский государственный университет

Введение

Данная работа посвящена исследованию геометрии треугольника на плоскости. Главное место в ней занимает точка Жергонна - одна из замечательных точек треугольника, названная по имени французского математика, профессора из Монпелье Жозефа Жергонна (Joseph Diaz Gergonne 1771-1859).

Точка Жергонна - это точка пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника и точки касания его сторон, противолежащих вершинам, с вписанной окружностью.

Приведем определения других точек, фигурирующих в работе:

Ортоцентр треугольника - это точка пересечения его высот.

Центр тяжести треугольника - это точка пересечения его медиан.

Точка Нагеля - это точка пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника и точки касания противоположных сторон с вневписанными окружностями этого треугольника.

Точка Брокара в D ABC - это такая точка W , что Ð W AB =Ð W BC =Ð W CA. В данном случае этот угол равен j . Необходимо заметить, что в треугольнике существуют две точки Брокара. Этим объясняется несимметричность полученного результата относительно сторон треугольника.

Симедиана треугольника - это прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы внутреннего угла треугольника. Симедианы треугольника пересекаются в одной точке, названной точкой Лемуана. Симедиана делит сторону, на которую она опущена, внутренним образом на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторон.

Дадим также определение окружности Эйлера:

Окружность Эйлера(девяти точек) - это окружность, на которой расположены середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром треугольника.

В данной работе представлены расстояния от точки Жергонна до других замечательных точек треугольника. В работе получены результаты, не опубликованные в известной автору литературе. Это расстояния от точки Жергонна до центров вписанной и описанной окружностей, окружности Эйлера, ортоцентра, центра тяжести, точек Лемуана, Брокара и Нагеля. Почти все эти результаты дают неравенства, выражающие зависимости полупериметра и радиусов вписанной и описанной окружностей друг от друга, например: (4R + r) ³ .

Большинство расстояний получено по доказанной в работе формуле, позволяющей находить расстояния от точки Жергонна до замечательных точек, зная только расстояния от них до вершин треугольника.

Применяемые обозначения: a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр, R - радиус описанной окружности r - радиус вписанной окружности, - углы треугольника при соответствующей вершине.

В работе получено, что квадрат расстояния от точки Жергонна до:

1) центра вписанной окружности равен ;

2) центра описанной окружности равен ;

3) ортоцентра равен ;

4) центра тяжести равен ;

5) центра окружности Эйлера равен

6) точки Нагеля равен ;

7) точки Брокара равен ;

8) точки Лемуана равен

1. Некоторые свойства точки Жергонна

1) Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности на противолежащих сторонах, пересекаются в одной точке.

AM = AN как соответствующие стороны в равных треугольниках AMJ и ANJ.

Аналогично BN = BL и CM = CL. A

s x s

M

N

b c

t J k

C y

t a

L k B

По теореме Чевы:

. Подставим s, k, и t: .

Значит, прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности на противолежащих сторонах, пересекаются в одной точке.

2) Легко доказать, что k = p - b, t = p - c и s = p - a.

3) По теореме Ван-Обеля: (рис.2) . Пользуясь пунктом 2-2 получим:

=. (1)

4) По теореме Стюарта: . Так как

m = (p - b), а n = (p - c), то . (2)

Известно, что ,

и то, что. Отсюда получим, что

. (3)

Известно также, что .

Отсюда: . (4)

Подставим выражения (3) и (4) в выражение (2):

=. (5)

Найдем x². Из выражения (5):

Пользуясь выражением (4): . (6)

Найдем , подставив выражения (5) и (6).

= ; . (7)

Найдем . Пользуясь выражением (1), получим:

= . (8)

Найдем xy. . Подставим выражения (1) и (6): = === =. (9)

3. Общая формула нахождения расстояний от точек пересечения чевиан до точки Жергонна.

n_a

b J c

y n_b

n_c z

p - b p - c B

F

C a

Обозначим части чевиан до пересечения буквой n с индексом той вершины, из которой они выходят.

1). В треугольнике BMC: по теореме Стюарта ;

2). В треугольнике AMF: по теореме Стюарта

Пользуясь выражениями (7), (8) и (9), получим:

Сократив, получим: . (10)

4. Нахождение расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности (I)
A

p - a

n_a

x

r J

I

n_c y n_b

r

B

Аналогично: . Подставим в формулу (10):

Так как (p - a)(p - b)(p - c)=pr², получим:

==.

Следствие: 4R + r^³ p.

5. Нахождение расстояния от точки Жергонна

до центра описанной окружности (O)

В данном случае . Подставим в формулу (10):

Так как (p - a)(p - b) + (p - a)(p - c) + (p - b)(p - c) = r (4R + r), то получим:

Следствие: .

6. Нахождение расстояния от точки Жергонна до ортоцентра (H)
A

a

D E

p - a n_a

H

x

J

n_b

n_c y

b

g B

C F

D AFB подобен D AEH, Следовательно, Ð AHE = Ð ABF=b . AE=b × cosa . n_a= AH = . Так как , то n_a =.

Отсюда n_a² = . Þ .

Получим: n_a² = = .

Подставим полученное выражение в формулу (10):

Принимая во внимание то, что (p - a)(p - b) + (p - a)(p - c) + (p - b)(p - c) = r (4R + r),

Известно, что и что

. Следовательно:

;

Подставим данное равенство в выражение (11):

Следствие: .

7. Нахождение расстояния от точки Жергонна

до центра тяжести (G)

Зная длину медианы треугольника, опущенной на сторону a: , подставим ее в формулу (10):

.

7. Нахождение расстояния от точки Жергонна
до центра окружности Эйлера (девяти точек) (O₉)
A

H_bH_c

n_{a R}

H

jO₉

O

B

C g

H_a

AO₉ = n_a. Известно, что OO₉= HO₉, где O и H- это центр вписанной окружности и ортоцентр, соответственно [3]. Пусть O H= j. В ΔAHG по теореме Стюарта: